B.8 Propriétés du matériau. Loi de comportement élastoplastique modifié ISOGEO

Utilisé par les éléments 2D et 3D (NPAR(1) = 2 ou 3).

On a pour ce modèle MODEL=NPAR(15)=7 $\longrightarrow$ loi élastoplastique isotrope (dans le repère de contraintes principales)

Le modèle 7 est un modèle nonlinéaire.
Le modèle 7 est une loi destinée à la recherche. L'utilisateur devra vérifier qu'elle correspond à ses besoins avant tout usage.
Le programme prend NCON=35 et JDETAT=29.

5 lignes de données

lecture dans EFNL2 et EFNL3
	READ (LECG,1010) (PROP(j,n), j=1,NCON)
1010	FORMAT(8F10.0)
	READ (LECG,1070) (INIPEL(j), j=1,4)
1070	FORMAT(4I5)

note	colonnes	variable	définition
ligne 1:
1	1-10	PROP(1,n)	(XEI) module de Young sous la pression de référence PREF(=PROP(44)) ($E_i$)
	11-20	PROP(2,n)	(XNU) coefficient de poisson ($\nu$)
	21-30	PROP(3,n)	(XN) exposant de la loi élastique ($n$)
	31-40	PROP(4,n)	(PHI) angle de friction plastique parfait ($\phi$) (en degrés)
	41-50	PROP(5,n)	(PSI) angle de dilatance (en degrés) ($\psi$)
	51-60	PROP(6,n)	(BETA) coefficient de la loi d'état critique, qui caractérise l'écrouissage en densité. ($\beta$)
	61-70	PROP(7,n)	(PCI) pression critique initiale ($p_{ci}$)
	71-80	PROP(8,n)	(A) coefficient de la loi d'écrouissage des mécanismes déviatoitres ($a_m$)
ligne 2:
	1-10	PROP(9,n)	(B) coefficient d'enchevetrement utilisé dans l'expression des seuils en déviatoire ($b$)
	11-20	PROP(10,n)	(ACYC) coefficient $a$ cyclique ($a_{cyc}$)
	21-30	PROP(11,n)	(C) coefficient de la loi d'écrouissage du mécanisme isotrope ($c$)
	31-40	PROP(12,n)	(D) coefficient du mécanisme isotrope reliant la droite d'état critique et la droite de consolidation isotrope ($d$)
	41-50	PROP(13,n)	(CCYC) coefficient $c$ en cyclique ($c_{cyc}$)
	51-60	PROP(14,n)	(DLTELA) rayon du domaine élastique du mécanisme isotrope ($r_{4,ela}$)
	61-70	PROP(15,n)	(XKIMIN) coefficient de la loi d'écrouissage isotrope valeur usuelle = 0
	71-80	PROP(16,n)	(ALFA) coefficient pour le domaine de comportement (dilatance) ($\alpha$)
ligne 3:
	1-10	PROP(17,n)	(RAYELA) rayon du domaine élastique ($r_{ela}$) $0 < r_{ela} < r_{hys} < r_{mbl} \leq 1$
	11-20	PROP(18,n)	(RAYHYS) rayon du domaine hystérétique ($r_{hys}$ ) $0 < r_{hys} \leq 1$
	21-30	PROP(19,n)	(RAYMBL) rayon du domaine mobilisé ($r_{mbl}$) $0 < r_{mbl} \leq 1$
	31-40	PROP(20,n)	(XM) coefficient du domaine de comportement ($m$)
2	41-50	PROP(21,n)	(XEAUX) module de Young pour l'opérateur auxiliaire $\texttt{XEAUX} \geq \texttt{XEI}$
2	51-60	PROP(22,n)	(XNUUX) coefficient de poisson pour l'opérateur auxiliaire
	61-70	PROP(23,n)	(COHSN) cohésion ($c$)
	71-80	PROP(24,n)	(TRCLMT) contraintes limites du mécanisme de traction
ligne 4:
	1-10	PROP(25,n)	(INCMAX) nombre maximum de sous-incréments autorisés
	11-20	PROP(26,n)	(AKS(1)) perméabilité saturée à la porosité POROS0 dans la direction $o_x$ (inutile en 2D)
	21-30	PROP(27,n)	(AKS(2)) perméabilité saturée à la porosité POROS0 dans la direction $o_y$
	31-40	PROP(28,n)	(AKS(3)) perméabilité saturée a la porosité POROS0 dans la direction $o_z$
	41-50	PROP(29,n)	(AK0) coefficient de poussée des terres initial ($K_0$)
3	51-60	PROP(30,n)	(SATR) saturation résiduelle ($S_r$) en statique et pour un problème couplé non saturé, ou (IRTNU)numéro du niveau d'eau qui traverse les éléments du groupe en statique et en mécanique pure.
3	61-70	PROP(31,n)	(ALFAS) coefficient de la loi $S(p)$ en statique et pour un problème couplé non saturé.
3	71-80	PROP(32,n)	(DSDPMX) déterminé par le programme maximum de $\frac{d(sat)}{dp}$
ligne 5:
4	1-10	PROP(33,n)	(FACNAP) coefficient d'une éventuelle nappe phréatique initiale
4	11-20	PROP(34,n)	(ZNAPPE) altitude de la nappe phréatique
	21-30	PROP(35,n)	(PREF) Pression de référence par défaut mise à $-1.\times10^6.$

notes

1. La loi ISOGEO est une loi de comportement élastoplastique cyclique pour les géomatériaux, basée sur les concepts suivants:
   1. obéit au principe d'état critique pour des contraintes principales, modifié pour Mohr-Coulomb
   2. la dissipation plastique est divisée en 4 mécanismes:
      • 3 mécanismes dans 3 plans orthotropes coïncidant avec les axes principaux.
        La surface de charge pour chaque mécanisme, du type frottement de Coulomb, est définie par :
        $l_a=\Vert \sigma_b - \sigma_c \Vert - \sin \phi \left( \sigma_b + \sigma_c \right) F \left( \left( \sigma_b + \sigma_c \right) , n_p \right) r_a$
        avec:

        une fonction d'enchevêtrement définie par : $F \left( \left( \sigma_b + \sigma_c \right) \right)=1-b \log \left( \frac{\sigma_b+\sigma_c}{\sigma_c(n_p)} \right)$

        un écrouissage en densité: $\sigma_c = \sigma_{ci} \exp \left( -\beta . n_p\right)$

        un écrouissage en déviateur : $l_t r_a = \lambda_a \frac{\left( 1-r_a \right)^2}{a}$

        $n_p$, la déformation normale plastique (la porosité plastique)

      • La loi d'écoulement est associée en déviateur et respecte la loi de dilatance de Roscoe et l'état caractéristique défini par $Y$, en volumique.
        La vitesse de déformation plastique s'écrit :
        $D^p_a = \lambda_a \Psi_a$
        avec:
        $\Psi_a = l_{\lambda} \left( \sigma_b - \sigma_c \right) + \frac{1}{3} \left( \sin \psi + \frac{\sigma_b-\sigma_c}{\sigma_b+\sigma_c} \right) I$
      • un mécanisme isotrope dont la surface de charge est définie par :
        $l_{iso} = p - d p_c r_{iso}$
        et la loi d'écrouissage par :
        $l_c r_{iso} = \lambda_{iso} \frac{\left( 1 - r_{iso}\right)^2}{c}$
   3. Le chargement cyclique est pris en compte en appliquant le concept de module plastique aux seuls modules d'écrouissage intrinsèques de chaque mécanisme, ainsi que la notion de domaine de comportement pour les mécanismes déviatoires.
   4. La partie élastique a un comportement non linéaire isotrope, de la forme:
      $E=E_i \left( \frac{p}{p_{ref}} \right)^n$ (module de Young)
      ou $p_{ref}$ est la pression de référence donnée par l'utilisateur et $p$ est la contrainte isotrope.
   5. Pour l'initialisation des degrés de mobilisation, on suppose que l'on commence toujours en cyclique, d'où : $r_{am} = 1.$
      Les rayons cycliques sont alors initialisés de manière à être toujours à l'intérieur ou sur le seuil, c'est-à-dire de la manière suivante:
      $\Vert \sigma_b - \sigma_c \Vert + \sin \phi \left( \sigma_b + \sigma_c \right) F \left( \left( \sigma_b + \sigma_c\right), n_p \right) r_{ela}$
      alors $r_{ac}=r_{ela}$
      sinon: $r_{ac}= - \frac{\Vert \sigma_b - \sigma_c \Vert}{\sin \phi \left( \sigma_b + \sigma_c \right) F \left( \left( \sigma_b+\sigma_c\right), n_p \right) }$
2. XEAUX et XNUUX sont les paramètres utilisés pour calculer la matrice d'élasticité auxiliaire, qui sert à résoudre le système non linéaire. De manière générale, donner à XEAUX une valeur égale ou plus grande que la valeur de XEI. L'augmentation de ces valeurs peut conduire à une convergence mais peut augmenter le temps CPU.
3. La variation du degré de saturation ($S$) et de la perméabilité ($K$) en fonction de la porosité ($n$) et de la pression interstitielle ($p_{int}$) est définie par les lois d'évolution suivantes:
   • $S = S_r + \frac{1 - S_r}{1+\left( \alpha_s \frac{p_{int}}{ \frac{\rho_w}{q_z} } \right)^2 }$
     où $S_r$ est la saturation résiduelle et $\alpha_s$ caractérise la courbure de la fonction $p(S)$.
   • $K(S,n) = K_{sat}(n) k_r(S)$
     où$k_r(S)$ est une fonction dépendant du degré de saturation et qui varie entre $0$ et $1$ selon la relation donnée par van Genuchten:
     $k_r(S) = \left( \frac{S-S_r}{1-S_r} \right)^3$
   La perméabilité saturée $K_{sat}$ est fonction de la porosité $n$ selon la loi suivante :
   $K_{sat}(n) = K_{sat}(n_0) \frac{n^3}{n_0^3} \frac{\left(1-n_0 \right)^2}{\left( 1-n \right)^2}$
   où $K_{sat}(n_0)$ (AKS(i)) est la perméabilité saturée à la porosité initiale $n_0$ (POROS0); elle est fonction de la viscosité du fluide.
   Remarque: Dans un modèle purement mécanique, on peut vouloir modéliser la présence d'un niveau d'eau, qui traverse le matériau. La masse volumique du matériau est alors:
   • $(1-n) \rho_s$ au dessus du niveau d'eau
   • $(1-n)(\rho_s-\rho_w)$ sous le niveau d'eau (i.e. la masse déjaugée)
   Le niveau d'eau, préalablement défini dans le paragraphe "Chargements" (§4.5), est donné par son numéro IRTNU dans le tableau PROP à la place de la saturation résiduelle inutile en mécanique pure.
   Cette possibilité ne peut pas être utilisée en dynamique (cf. note (2) §8.2.2.1).
4. La prise en compte de la présence d'une nappe phréatique n'est utile que pour initialiser les pressions interstitielles PINT aux points d'intégration des éléments du groupe, par:
   PINT = FACNAP * DENW * ABS(GZ) * (ZIPT-ZNAPPE)
   où

   ZIPT est la cote du point d'intégration

   DENW est la masse volumique du fluide

   GZ est la gravité dans la direction $z$.

   Ceci suppose que les inconnues nodales aient été préalablement initialisées par ailleurs (avec ICON = 10, 12 ou 13)