Laboratorio de Geomecánica Computacional

Consolidación 1D

Thursday 1 December 2011, by Esteban Saez, PhD

El presente tutorial ilustra la resolución de un problema de consolidación 1D bifásico (hidro-mecánico), completamente acoplado. Se estudian tres escenarios de modelación:

Geometría

Consideraremos un estrato uniforme, completamente saturado y apoyado sobre una roca impermeable. La altura del estrato es igual a H:

Los parámetros que caracterizan el problema son:

Parámetros del problema
Constante Valor Unidades
E 1.0 MPa
\nu 0.2 -
k 10^{-4} m/s
p_0 10^{3} Pa/m
H 1 m
\rho_w 1000 kg/m3
n 0.36 -
\beta_w 1.069\times10^{-9} 1/Pa
\mu_w 1.0 Pa s

donde E es el módulo de Young del suelo, \nu su módulo de Poisson y n su porosidad. La permeabilidad del suelo al agua es k y la carga aplicada es p_0 [1]. El agua está caracterizada por su densidad de masa \rho_w, el inverso de su compresibilidad \beta_w y su viscosidad dinámica \mu_w

Solución analítica

El problema de consolidación unidimensional puede ser resuelto analíticamente por medio de la ecuación diferencial parcial:

\frac{ \partial u_w}{ \partial t} = c_v \, \frac{\partial^2 u_w}{\partial z^2}

donde

c_v = \frac{k \, E_{oed}}{\gamma_w} \hspace{5mm} \mbox{;} \hspace{5mm} E_{oed}=\frac{ (1-\nu) \, E}{(1+nu) \, (1-2 \nu)} \hspace{5mm} \mbox{;} \hspace{5mm} z=H-y

c_v es el coeficiente de consolidación, mientras que E_{oed} es el módulo de compresión edométrico (módulo de Young con deformación lateral restringida). La solución analítica de la ecuación diferencial parcial, asumiendo comportamiento elástico, se puede escribir en términos de la serie:

 \frac{u_w(z,t)}{p_0}= \frac{4}{\pi} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{2j-1} \, \cos{\left( (2j-1) \frac{\pi}{2} \frac{y}{H}\right)} \, \exp{ \left( -(2j-1)^2 \frac{\pi^2}{4} \frac{c_v t}{H^2} \right)}

La expresión anterior permite cuantificar la disipación de la sobre presión de poros u_w(z,t) con respecto a la carga total impuesta p_0 a una profundidad z y un tiempo t. La expresión anterior no considera gravedad, por lo tanto la presión de poros como los esfuerzos efectivos son inicialmente nulos.

Conductividad hidráulica

En Code_Aster lo modelación hidro-mecánica acoplada THHM [2] emplea una ecuación de difusión de la fase fluida de la forma:

 \frac{ \underline{M}_{lq}}{\rho_{lq}} = \lambda_{lq}^H \left( - \underline{\nabla} p_{lq} + \rho_{lq} \underline{F}^m\right)

donde \underline{M}_{lq} es el flujo másico del líquido y \underline{F}^m son las fuerzas de masa (gravedad). El flujo másico se puede relacionar a la velocidad de las fases líquida \underline{v}_{lq} y sólida \underline{v}_s como:

 \underline{M}_{lq} = \rho_{lq} \, \varphi \, S_{lq} \, \left( \underline{v}_{lq} - \underline{v}_s \right)

donde \varphi es la porosidad Euleriana (porosidad actual incluyendo deformaciones del esqueleto sólido) y S_{lq} es el grado de saturación en líquido. La densidad de masa del líquido \rho_{lq} corresponde a la combinación de la densidad de masa del fluido \rho_w y la del gaz disuelto \rho_{ad}:

 \rho_{lq}  = \rho_{w} + \rho_{ad}

Bajo las hipótesis de pequeñas deformaciones, sin gaz disuelto y material saturado la ecuación de difusión líquida resulta:

 \underline{\dot{u}}_{rf} = \lambda_{lq}^H \left( \underline{\nabla} u_w + \rho_w \underline{F}^m \right)

En mecánica de suelos, el flujo de un fluido a través de un suelo se caracteriza a través de la ecuación de Darcy. Si el suelo es isotrópico esta relación queda:

 \underline{\dot{u}}_{rf} = k \, \underline{\nabla} h

donde h es la carga hidráulica:

 h \approx z + \frac{u_w}{\gamma_w}

despreciando el término inercial debido a que los flujos se asumen razonablemente lentos. Luego, comparando la expresión de Code_Aster y la ley de Darcy, se obtiene que:

 k = \lambda_{lq}^H \, \gamma_w

Por otro lado, el valor de \lambda_{lq}^H se calcula en Code_Aster como una función de la permeabilidad geométrica o intrínseca K^{int} (función de la porosidad Euleriana \varphi), la permeabilidad relativa del sólido al fluido K_{lq}^{rel} (depende de la sección disponible para el tránsito del fluido y por lo tanto de la saturación S_{lq}) y de la viscosidad del fluido \mu_w (a cierta temperatura):

 \lambda_{lq}^H = \frac{K^{int}(\varphi) K_{lq}^{rel} (S_{lq})}{\mu_w(T)}

Si el suelo está saturado, podemos suponer que K_{lq}^{rel}=1. Luego, el valor de la permeabilidad intrínseca K^{int} compatible con el valor "geotécnico" k entregado es de:

 K^{int}=\frac{k \, \mu_w}{\gamma_w}

Evaluando en los datos disponibles se obtiene:

 K^{int} = \frac{10^{-4} \times 1}{9.81 \times 1000}=1.019 \times 10^{-8}

Caso 1: Material elástico sin gravedad

En este caso, ya que el esqueleto es elástico, no se requiere de una inicialización de la fase sólida. Como el problema no tiene gravedad, los resultados se pueden comparar directamente en términos del perfil de presión de poros u_w(z,t) en varios instantes de tiempo t:

En este caso, como se trata de las mismas hipótesis empleadas para derivar la solución analítica, el ajuste de la solución numérica con el modelo de Elementos Finitos es excelente.

Caso 2: Material elástico con gravedad

Al incorporar la gravedad, tanto la fase sólida como la líquida adquieren peso. De esta forma, el estado inicial incluye presiones hidro-estáticas y tensiones verticales y horizontales geoestáticas. Para incorporar la gravedad, el cálculo se dividió en dos fases:

  • Se construye un modelo sin carga donde se inicializan las tensiones y las presiones debido a la gravedad. Ya que por peso propio el suelo tiende a asentarse, esta etapa toma un tiempo antes de que se estabilicen las tensiones y presiones (auto-consolidación). En el modelo se calculó entre t=-1000s y t=0s
  • En la segunda fase del cálculo se incorpora la carga vertical (consolidación usual). De la primera fase se extrae el campo de tensiones y las presiones nodales. No se extraen los desplazamientos nodales con el objetivo de iniciar la segunda fase en términos relativos al equilibrio estático. Como las fuerzas de gravedad se equilibran con el campo de tensiones impuesto, no se producirán deformaciones por peso propio. Esta segunda fase comienza en t=0s y termina para t=500s.

Tal y como se esperaba, los resultados para el caso con o sin gravedad considerando el esqueleto sólido elástico son prácticamente idénticos. Desde el punto de vista téorico, las únicas diferencias están ligadas a la ecuación de difusión en la que aparace para el segundo caso la fuerza de gravedad. El resto de las hipótesis del problema se mantiene, lo que explica esta variación mínima con respecto a la solución teórica.

Caso 3: Material inelástico con gavedad

En este caso se empleó el modelo elasto-plástico multi-mecanismos de Hujeux. Para el caso inelástico se emplea exactamente la misma lógica del caso elástico con gravedad, es decir, se comienza con una inicialización de tensiones para luego seguir con la aplicación de la carga vertical y la consolidación.

El modelo de Hujeux incorpora nociones de elasticidad no lineal, de forma que los módulos elásticos de compresión K y el módulo de corte G son funciones del confinamiento:

 K = K_{ref} \left( \frac{p'}{p_ref} \right)^n \hspace{5mm} \mbox{ y } \hspace{5mm} G = G_{ref} \left( \frac{p'}{p_ref} \right)^n

en función del confinamiento efectivo p' y de dos valores de referencia K_{ref} y G_{ref} para un confinamiento de referencia p_{ref}. Para desarrollar este ejemplo, se empleó K_{ref}=444MPa y G_{ref}=222MPa, una presión de referencia p_{ref}=-1MPa y un coeficiente para la no linealidad de n=0.0 (módulos constantes) [3].

La comparación con la solución analítica elástica no es directa, ya que en el caso inelástico la compresibilidad del esqueleto sólido del suelo es muy superior. En efecto, las curvas teóricas elásticas de la figura (líneas segementadas) se evaluaron usando sólo el 1% de las rigideces elásticas K_{ref} y G_{ref}.

Footnotes

[1] este valor es irrelevante para el caso elástico, pero es importante para el caso inelástico ya que afecta el nivel de deformaciones plásticas desarrolladas en el suelo

[2] consultar los documentos R7.01.10 y R7.01.11 para mayores detalles

[3] Para un problema real, los valores experimentales sugieren un valor de n de alrededor de 0.5

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